平方根とは？ その計算方法・公式を分かりやすく徹底的に解説。 基礎の基礎の基礎！

『高校生のレベルになって平方根 √(ルート)

ってなんなの？なんて、聞けるわけない！！！』

それはそうだと思います・・本当に。

平方根くらい、何の問題も無い。と言う方は

この記事は読んでもらう必要はないわけですし、

僕自身もそれを望んではいるわけです。

しかしもしもこれを読んでいるあなたが、

平方根・√(ルート)に不安がある。

平方根ってなんなの？なんて、

今更そんなこと聞けない。

そんな風に思っているのであれば、

この記事を読んで頂ければ、

ためになるはずです。

*そもそも平方根とは・・？

念のために、まず根本の根本、

基礎の基礎からいきます。

平方根というのは、2乗して(その数字)になる

数字のことです。

例えば、9の平方根は？

ときかれたら、2乗して9になる数字は？

と聞かれているわけです。

ちなみに、2乗する、というのは同じ数を

掛け算することですよ！

9の平方根の場合、3は答えになりますね。

3の2乗は、3×3=9ですから。

-3も答えになります。

-3の2乗は、(-3)×(-3)=9です。

同じように、16の平方根は？と聞かれたら、

4×4=16になるので、4は答えになりますし、

(-4)×(-4)=16ですので、-4も答えです。

こんな風に、△の平方根というのは、

■×■=△になるような、■に当てはまる

数字のことを言います。

4の平方根なら、2と-2が答えになります。

このように、平方根は基本的に、

二つセットで存在します。

(正の数)×(正の数)=(正の数)ですし、

(負の数)×(負の数)=(正の数)ですから、

＋..と、－..の二つあるわけです。

ただ、0の平方根は？ときかれたら、

0だけです。2乗して、0になるのは

0×0=0のときだけです。

また、-〇の平方根は存在しません。

例えば-4の平方根は？となったとき、

慌てて2と言ってしまいそうですが、

同じ数を掛け算して-4になることは

ありえません。なぜなら、

(正の数)×(正の数)=(正の数)

(負の数)×(負の数)=(正の数)

ですから、同じ数を掛け算すると、

必ず正の数になります。

0同士なら0にはなりますが、

負の数(-○)になることはありません。

*じゃあ、√(ルート)っていうのは・・？

これまで、4の平方根は？9の平方根は？16の平方根は？

などと聞いてきました。この場合は、2、3、4と

それぞれ答えておけば良いだけです。

じゃあ、5の平方根は？

と聞かれたらどうでしょうか？

■×■=5

になる数字。。。

なかなか見つかりませんね。

答えはというと、

2.2360979......

みたいな数字なんです。

きっちりの数字にはなりません。

そこで、この2.2360979......のことを、

√5  (2乗して5になる数字)、と書いて表現しよう。

というわけです。

つまり√○というのは、2乗して

○になる数字を表すので、

√4=2ですし、

√9=3ですし、

√5=2.2360979......

になっている訳です。

ただ、√という記号は、符号は

考慮してません。

なので、例えば

5の平方根は？と聞かれたら、

√5と-√5、みたいに符号をつけて

答える必要があります。

なのでもちろん、4の平方根は？と聞かれたら

√4と-√4、と答えることもできるわけですが、

√4は2というきっちりした数字になるので、

2と-2、と言う風に答えましょう。

ということです。5の平方根は、

2.2360679...と、-2.2360679....

なんて書ききれないので、√5

と書きましょう、ということです。

 いかがでしょうか？

これで平方根や√が何のことか

は分かったでしょうか？

ではここから計算に入ります

*平方根の計算 

では次に、平方根の計算方法です。

√のついた計算式ですね。

これも実は簡単に解けます。

まず、計算の大原則中の

大原則として押さえてほしいのが、

√○は文字として扱え

ということです。

これさえ押さえておけばもうオッケーです。

例えば、

6√5+3√5は？

9√5です。

なぜかというと、

6√5+3√5   =   9√5というのは

6a+3a   =   9aになるのと同じです。

√5をaという文字と考えれば良いです。

じゃあ、6√5+√3+3√5+7√3は？

9√5+8√3です。

6√5 + √3 + 3√5 + 7√3   ＝   9√5+8√3というのは

6a + b + 3a + 7b   =   9a + 8b  と同じです。

√5をa、√3をbと考えれば良いのです。

要するに、√○の〇の部分(ルートの中身)

が、別の数字であれば、それらを計算することは

できません。

√5+√3=〇〇！みたいに計算することは

出来ないということです。だって、

2.2360679...+1.7320508...みたいな数字の

答えははっきり出ませんよね？

でも、

6√5+3√5は、

6×2.2360679...　+　3×2.2360679..

ということなので、9×2.2360679..(つまり9√5)

であることは分かります。

引き算の場合も全く同じように、文字

のように考えれば良くて、例えばこうなります。

6√5   -   3√5   =   3√5  (6a   -   3a   =   3aと同じ)

6√5 - √3 - 3√5 + 7√3   ＝   3√5+6√3

(6a   -   b  -   3a  +7b    =   3a   +6b  と同じ)

*√○の中身を小さくする平方根の計算

ここからは、とても重要な部分になってきます。

例えば、√8=2√2なんです。

√8と、2√2は同じ数になります。なぜでしょうか。

まずはイメージを掴んで頂きたいので

ルールを抑おさえてください、

8という数字は、2×2×2で出来ています。

 つまり√8は√(2×2×2)なわけです。

 ここで、√の中に、同じ数字のペアが

出てきたら、その二人はペアを組んで結婚します。

結婚すると家を出ます。つまり√の外に出るんです。

√の外に出ると、この二人の数字は一つになります。

√(2×2×2)の場合、√の中に3つある2のうち、

2つある2をペアにしてあげて、外側に出します。

この時、外側に出ると、2つペアになった2は1つに

なってしまうことに注意してください。

つまり3つある2のうち、

2つの2は外側にでて、1つの2に変化します。

残り1つの2は、そのまま√の中に残ります。

結果、2√2になります。

少し練習してみましょう。

√18なら、√18=√(3×3×2)なので、

2つある3がペアとなり外に出て、1つだけの3に変化し、

2は√の中に残りますので、3√2です。

√32なら、32を分解して2×2×2×2×2なので、

2×2と、2×2がペアになり、

1つだけの2が√の中に残るので、

2×2√2つまり4√2に変化します。

分かってきたでしょうか？

√の中の数字を分解するのは、

慣れないうちは素因数分解を使うと

確実です。

さて、√の中を小さくできるように

なると、何が変わるの？という話

ですが、実は計算できることが増えます。

例えば、√2+√8+√32+√2

という式があったとします。

さっきまでの知識では、√の中身が

違えば計算できないので、

√2だけを計算して、2√2+√8+√32

としてしまいそうですよね。

しかし、√の中身を小さくする方法

を知った今なら、もっと計算できます。

√2+√8+√32+√2は、

√8が2√2、√32が4√2、と

変換できますので、

√2+2√2+4√2+√2=8√2

となります。こんな風に、

√の中身を小さくすると、結果的に

√の中身が同じになって計算できる

部分が増えます。

なので√の計算をするときに、

一番最初にやるべきことは、

√の中身を小さくすることなんです。

その後で、たすなり、ひくなり

かけるなり、してください。

ん？掛け算？と思ったあなた、

掛け算については次で説明します。

*√の掛け算の計算

ここまで来たら、√の掛け算なんて

別に難しくもなんともないです。

a√b×c√dみたいになっていれば、

(a×c)√(b×d)

にすれば良いだけの話です。

擁するに、√の外側と√の中身を

それぞれ掛け算するだけです。

√の外側に何も書かれていないのは、

1が書かれていると思ってくださいね！

ちなみに掛け算をすると、√○の中身の数字

が大きくなりがちですので、掛け算後は、

√○の中身が小さく出来ないかどうか、

必ずチェックするようにしましょうね！