二次関数の解き方を徹底解説

二次関数の解き方を徹底解説します。

二次関数・・

その言葉を聞いただけで、嫌気が指す。

そんな方も多いのではないでしょうか。

そこでこの記事では、

二次関数の解き方を出来るだけ

分かりやすく、解説します。

数学が苦手で、二次関数がさっぱり

分からない・・という何も分からない人でも、

本記事を10分ほど読めば、大学受験レベル

まで到達できるかと思います。

*そもそも関数ってなに？

数学が分からない・・

という人の多くはそもそも関数

の意味が分かっていなかったりします。

簡単にですが、おさらいしておきましょう。

関数は、ブラックボックスや魔法の箱と

よく例えられます。

ある数字を箱に入れたら、

ある数字が返ってくる。

2を入れたら37が出てきた。

1を入れたら15が出てきた。

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一体どういう仕組みで子の箱は、

出てくる数字が決まっているんだろう。

調べてみたら、こんな仕組みで動いていた。

${y=5x^2+7x+3}$

出てくる前の数字をxに入れて計算して、

出てきた数字がyになって出てくると分かった。

するとこの箱は、 ${y=5x^2+7x+3}$

という関数なわけです。

*関数のグラフって？

箱に入れる前の数字と、箱に入れた後の数字

の対応する箇所に点を取ってみる。色んな

数字を箱に入れてみて点を無数にたくさん

とってみると、こんな曲がった線が出来た！

f:id:want_exam_advice:20160623121709p:plain

つまり、これが、

関数 ${y=5x^2+7x+3}$ のグラフです。

最初よく分からなかった魔法の箱がどういう動きを

していたのか、グラフを見るとよく分かりますよね。

正直、関数の式 ${y=5x^2+7x+3}$ だけを見ても、

関数がどんな動きをしているのか分かりにくい

ですが、グラフを見れば分かりやすいです。

そこで、式だけを見て、グラフを書けたら

便利だなあ、と思った人がいてそれを可能に

したのが平方完成というやつです。

*平方完成って？

関数の式、y=... だけを見て、グラフを書けたら

後々なにかと便利。でもラッキーなことに、

式を見ただけで、グラフの形が分かる方法があるのです。

それが、この形です。

${y=a(x-p)^2+q}$

この式の、a、p、qには

数字が入ることに気を付けてください。

つまり、こんな感じで色々

な数字が入ります。

${y=2(x-4)^2+1}$

${y=4(x-2)^2+5}$

aが1のときは、

${y=1(x-2)^2+5}$

と書かずに1を省略して

${y=(x-2)^2+5}$

と書きます。とにかくこんな形

になっていれば、グラフの形

が分かるのです。

どうやって分かるのか？

それは、

${y=a(x-p)^2+q}$

のa、p、qを見るだけです。

実は、下の図の、赤い点を頂点と

呼ぶのですが、この点のx座標がpに、

y座標がqになっているのです。

f:id:want_exam_advice:20160623122133p:plain

さらに、aの値のが正の数か負の数か

をみることによって、グラフの形が分かるのです。

f:id:want_exam_advice:20160623123050p:plain

例えば、 ${y=2(x-4)^2+1}$ なら、

頂点の座標は(4,1)になります。

${y=4(x-2)^2+5}$ なら、

頂点の座標は、(2,5)です。

${y=4(x+2)^2-5}$ のようなときも、

${y=a(x-p)^2+q}$ と形が違う、と

慌てないでください。

この場合は、pに-2が、qに-5

を入れただけです。

頂点の座標が負の数でも同じように

考えることが出来ます。

-pのpに-2を入れると、-(-2)=2

になることに注意してくださいね。

*平方完成のやり方その1

平方完成のやり方

をお教えします。

まずは、最初に、王道のやり方を

ご紹介します。丸暗記があまり得意

出ない人におすすめです。

どうしても数学や式変形が苦手で

丸暗記の方が得意と言う方は、

もっと下を見てもらえれば裏技も書いてます。

10秒で平方完成できます。

そちらが見たい方は、平方完成のやり方その1

を読み飛ばして、その2までいってください。

例: ${y=2x^2-16x+33}$

で説明します。

step1.

まず、 ${x^2}$ の係数(今回の例では2)で、

${x^2}$ の項と ${x}$ の項を括ります。

すると、 ${y=2x^2-16x+33}$ から

${y=2(x^2-8x)+33}$ になります。

step2

次に、先ほど括った()の中の、

${(x^2-8x)}$ にだけ、注目します。

step2-1.

ここで、xの係数だけ半分にして、

${x^2}$ 、 ${-8x}$ それぞれ、

xを一つずつ減らします(つまりxで割る)。

例だと、 ${(x^2-8x)}$ を、

${(x^2-4x)}$ にして、

${(x-4)}$ にします。

step2-2.

次に、先ほど、出来たものを2乗します。

${(x-4)}$ が、 ${(x-4)^2}$ になります。

step2-3.

最後に、()の中の定数、例だと

-4、を2乗したもので引きます。

つまり、 ${(x-4)^2-16}$ となります。

step3.

さて、思い出してみると、step.1の

${y=2(x^2-8x)+33}$ で、(x^2-8x)に

注目して、step2で、 ${(x-4)^2-16}$

に変形していましたよね。

あとは、なので、元の式の

${y=2(x^2-8x)+33}$ の『x^2-8』の部分に

${(x-4)^2-16}$ をそのまま当てはめる

良いだけです。

このとき、『x^2-8』についてる()

を勝手に外さないようにしてください。

すると、 ${y=2｛(x-4)^2-16｝+33}$

となります。

step4.

最後に、 $｛(x-4)^2-16｝$ の部分だけは計算(展開)

せずに、 $｛(x-4)^2-16｝$ についている先頭の2

を分配法則で計算していくだけです。つまり、

${y=2×(x-4)^2-2×16 +33}$ となります。

最後に、-2×16+33の部分を計算します。

${y=2×(x-4)^2-2×16 +33}$ が、

${y=2(x-4)^2+1}$ となります。

これで無事に、平方完成が出来て、

${y=a(x-p)^2+q}$

の形になりましたね！

今回はすっきりする数字を用いましたが、

奇数などが出てきても、分数になるだけで

やり方はすべて同じです。

*平方完成のやり方その2

基本的には、上述の王道のやり方で

慣れていきますし、そのうち何も

考えなくとも出来るようになります。

しかし、どうしても数学が苦手

でいつまで経っても、どうしても

やり方が覚えられない。ミスしてしまう

という人向けに、

一瞬で平方完成する方法をお教えします。

丸暗記が得意な人におすすめです。

やり方はこうです。

${y=ax^2+bx+c}$ の平方完成は、

${y=a(x+\frac{b}{2a})^2+c-\frac{b^2}{4a}}$ になる。

これを覚えるだけです。

例えば先ほどの例だと、

${y=2x^2-16x+33}$ の平方完成は、

${y=2(x+\frac{-16}{2×2})^2+33-\frac{(-16)^2}{4×2}}$

こういうことです。

先ほどの、その1でやった答えと一致するはずです。

言いかえれば、二次関数 ${y=ax^2+bx+c}$ の、

グラフの頂点の座標は、

( ${-\frac{b}{2a}}$ , ${c-\frac{b^2}{4a}}$ )

ということです。

暗記しちゃえば即終了ですね。

*文字入り２次関数の最大・最小【基本形】

さて、ここから一気に、

本格的な問題に入っていきます。

例題.

${f(x) = 2x^2 + ax + a^2}$ の

0 <= x <= 2 における

最大値・最小値を求めよ。

この問題を見たときに、まず注意して

欲しいのは、この問題の式で出てきている

aという文字は、これまでの説明で出てきたa

とは何の関係もありません。

平方完成した後の ${y=a(x-p)^2+q}$ のaでも、

${y=ax^2+bx+c}$ のaでも無いです。

まったく関係のないa(ただの数字)であること

に注意してください。

さて、 ${f(x) = 2x^2 + ax + a^2}$ を平方完成すると、

${f(x) = 2(x+\frac{a}{4})^2 + \frac{7}{8}a^2}$

になります。この形を見ると、グラフの形は

こうだと分かります。

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さて、ここで、あれ？と思われると

思います。頂点に文字が入ってしまっています。

文字が入ってるんじゃあ、どうやって求めたら

良いの？

と思われるかもしれませんが、

全く問題はありません。

問題を難しくするために、文字が

入れられていますが、この文字は、

完全に一つの数字だと思ってください。

つまり、最大値、や最小値、の答えに

aが含まれてても良い、ということです。

まずはaを受け入れましょう。aは、

何かの数字である、と考えてください。

そして、この曲線でx軸(横軸)

の範囲を0から2に絞った時、

最もy座標(縦軸)の値が大きくなる

のはどこでしょうか？

ここで、ふと考えてほしいのですが、

aは何かの数字、といいました。

そのaの数字が何であるかによって、

答えは変わってくることにお気づきでしょうか？

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おおざっぱには、こんな風なイメージで変化します。

グレーのゾーンが0から2の範囲です。この範囲の

中で、一番縦軸の値が大きい場所と小さい場所は、

${\frac{a}{4}}$ が何処にあるかによって変わります。

なので、解答するときは、

こういう場合は、最小値は〇〇だけど、

こういう場合は、最小値は△△。

みたいに答えないといけません。

こういうのを、場合分けといいます。

もっと具体的に見ていきましょう！

まず、紫の最小値について考えます。

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パターン1.

${\frac{a}{4} ＞ 2}$ のとき

一番左の図のパターンです。

紫色の点の場所の最小値は、xの値が2の時です。

関数f(x)のxに2を入れた時の値を

f(2)と書くのですが、これは

${f(2) = 2×2^2 + a×2 + a^2}$ となります。

パターン2.

${0 ＜= \frac{a}{4} ＜= 2}$ のとき

真ん中の図のパターンです。

最小値は、xの値が ${\frac{a}{4}}$ の時です。

${f(\frac{a}{4})}$ は計算する必要もなく、

頂点の座標なので、図の通りですが、

${f(\frac{a}{4}) = \frac{7}{8}a^2}$ となります。

パターン3.

${\frac{a}{4} ＜ 0}$ のとき

最小値は、xの値が0の時です。

関数f(x)のxに0を入れた時の値であるf(0)は

${f(0) = 2×0^2 + a×0 + a^2}$ となります。

次に、最大値について考えます。

最大値は、二つのパターンに分けられます。

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左の二つの図はxが0のときが最大ですが、

右の二つの図は、xが2のときが最大値

になります。

パターン1.

${\frac{a}{4} ＞ 2}$ または、 ${2 ＞ \frac{a}{4} ＞ 1}$

の時なので結局、 ${\frac{a}{4} ＞ 1}$ となります。

このとき、 ${f(0) = 2×0^2 + a×0 + a^2}$ が最大値です。

パターン2.

${\frac{a}{4} ＜ 0}$ または、 ${0 ＜ \frac{a}{4} ＜ 1}$

の時なので結局、 ${\frac{a}{4} ＜ 1}$ となります。

このとき、 ${f(2) = 2×2^2 + a×2 + a^2}$ が最大値です。

こんな感じです。

ここまでをまとめると、こんな感じですね。

------------------------------------------------------------------------------

最小値は、

${f(2) = 2×2^2 + a×2 + a^2}$ ( ${\frac{a}{4} > 2}$ のとき)

${f(\frac{a}{4}) = \frac{7}{8}a^2}$ ( ${0 <= \frac{a}{4} <= 2}$ のとき)

${f(0) = 2×0^2 + a×0 + a^2}$ ( ${\frac{a}{4} < 0}$ のとき)

最大値は、

${f(0) = 2×0^2 + a×0 + a^2}$ ( ${\frac{a}{4} > 1}$ のとき)

${f(2) = 2×2^2 + a×2 + a^2}$ ( ${\frac{a}{4} < 1}$ のとき)

------------------------------------------------------------------------------

そして最後に、・・のとき、という書き方、

例えば ${\frac{a}{4} > 2}$ のとき、

みたいな感じでずっと書いてきましたが、

これを、 aに関する条件に書き換えましょう。

例として、 ${\frac{a}{4} > 2}$ なら、両辺を4倍して、

${a > 8}$ のように[tex:{\frac{a}{4}}]でなくaに関する

式に書き換えます。

すると、最終的な答えはこんな感じで書けば良いです。

------------------------------------------------------------------------------

最小値は、

${f(2) = 2×2^2 + a×2 + a^2}$ ( ${a > 8}$ のとき)

${f(\frac{a}{4}) = \frac{7}{8}a^2}$ ( ${0 <= a <= 8}$ のとき)

${f(0) = 2×0^2 + a×0 + a^2}$ ( ${a < 0}$ のとき)

最大値は、

${f(0) = 2×0^2 + a×0 + a^2}$ ( ${a > 4}$ のとき)

${f(2) = 2×2^2 + a×2 + a^2}$ ( ${a < 4}$ のとき)

------------------------------------------------------------------------------

どうでしょうか？

二次関数の解き方は、

お分かりになりましたか？

こんな感じで、

色んな分野について

解説しています。

もしよければ、感想や質問など、

自由に頂ければと思います！

want_exam_advice@yahoo.co.jp

ブログを見ました！

と送って頂ければ

すぐに分かります＾＾

では！

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*そもそも関数ってなに？

*関数のグラフって？

*平方完成って？

*平方完成のやり方その1

*平方完成のやり方その2

*文字入り２次関数の最大・最小【基本形】

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